# Caminata aleatoria y difusión > Cientos de caminantes que dan pasos al azar en una línea o un plano: cómo se dispersan, por qué la distancia crece como √N y la campana de Gauss. - Página interactiva: https://simulab.es/fisica/caminata-aleatoria - Asignatura: [Física](https://simulab.es/fisica.md) - Niveles: [Bachillerato](https://simulab.es/bachillerato.md), [Universidad](https://simulab.es/universidad.md) - Gratis, en español y en el navegador, sin registro. ## Qué es y cómo se usa En una caminata aleatoria cada paso tiene el mismo tamaño pero una dirección al azar: a la izquierda o a la derecha en una línea, o en cualquiera de las cuatro direcciones en una cuadrícula. Es el modelo más sencillo del movimiento de una partícula de polen golpeada por las moléculas del agua (el movimiento browniano) o de una molécula de perfume en el aire. Como los pasos se compensan, la posición media de muchos caminantes se queda en el punto de salida. Pero se van dispersando: el desplazamiento cuadrático medio crece en proporción al número de pasos, ⟨r²⟩ = N·ℓ², así que la distancia típica crece como √N. Y la distribución de posiciones se va pareciendo a una campana de Gauss, por el teorema central del límite. Suelta los caminantes en una línea o en un plano y mira cómo se extiende la nube, cómo la gráfica de ⟨r²⟩ sigue una recta y cómo el histograma toma forma de campana. ## Ejemplo resuelto **Una partícula da pasos al azar de 1 µm. ¿A qué distancia típica estará del punto de partida después de 10 000 pasos? ¿Y después de 40 000?** 1. Distancia típica: √⟨r²⟩ = ℓ·√N. 2. Con N = 10 000: 1 µm · √10 000 = 100 µm. 3. Con N = 40 000: 1 µm · √40 000 = 200 µm. 4. Con cuatro veces más pasos solo se aleja el doble: la difusión es lenta a largas distancias. **Solución:** Unos 100 µm, y 200 µm con cuatro veces más pasos (no 400 µm) ## Preguntas frecuentes ### ¿Por qué la distancia crece como √N y no como N? Porque los pasos se cancelan en parte. Si todos fueran hacia el mismo lado avanzaría N pasos, pero al ir al azar unos deshacen lo que hicieron otros. Al sumar N pasos independientes de varianza ℓ², la varianza total es N·ℓ² y la desviación típica, ℓ·√N. ### ¿Qué relación tiene con la difusión? La difusión es la caminata aleatoria de muchísimas moléculas. Por eso una gota de tinta se extiende rápido al principio y cada vez más despacio: para llegar el doble de lejos hace falta cuatro veces más tiempo. La ley de Fick y el coeficiente de difusión salen de este mismo modelo. ### ¿Por qué sale una campana de Gauss? Por el teorema central del límite: la suma de muchos pasos independientes tiende a una distribución normal, sea cual sea la forma de cada paso. Con unos cientos de pasos el histograma ya se parece mucho a la campana. ### ¿Vuelve siempre al punto de partida? En una línea y en un plano, sí: con probabilidad 1 acaba volviendo, aunque puede tardar muchísimo. En tres dimensiones no: hay una probabilidad de alrededor del 66 % de no volver nunca. Es un resultado famoso de Pólya. ## Herramientas relacionadas - [Paquete de ondas y efecto túnel](https://simulab.es/fisica/paquete-ondas.md): La ecuación de Schrödinger en una dimensión: un paquete de ondas que se ensancha, atraviesa una barrera por efecto túnel o se refleja en un escalón. - [Cavidad óptica Fabry-Pérot](https://simulab.es/fisica/cavidad-optica.md): Luz entre dos espejos paralelos: modos de la cavidad, rango espectral libre, finura, anchura de línea y factor de calidad. - [Péndulo esférico](https://simulab.es/fisica/pendulo-esferico.md): Un péndulo que puede moverse en todas direcciones: péndulo plano, cónico y la roseta que precesa, con el momento angular vertical conservado. - [Cubeta de ondas: interferencia y difracción](https://simulab.es/fisica/ondas-2d.md): Ondas en la superficie del agua desde uno o dos focos, o pasando por una o dos rendijas: líneas nodales, interferencia y difracción. - [Interferómetro de Michelson](https://simulab.es/fisica/interferometro-michelson.md): Un haz de láser dividido en dos que se vuelven a juntar: anillos de interferencia, franjas que pasan al mover un espejo y cómo medir distancias con la luz. - [Interferencia en láminas delgadas](https://simulab.es/fisica/laminas-delgadas.md): Por qué las pompas de jabón y las manchas de aceite tienen colores: reflectancia según el grosor y la longitud de onda, y cómo funcionan los antirreflejos. - [Instrumentos ópticos: lupa, microscopio y telescopio](https://simulab.es/fisica/instrumentos-opticos.md): Marcha de rayos en una lupa, un microscopio y un telescopio de Kepler: dónde se forma cada imagen y cuántos aumentos dan. - [Cargas en un conductor y efecto de las puntas](https://simulab.es/fisica/cargas-conductor.md): Cargas libres que se repelen dentro de un conductor esférico, elíptico, cuadrado o con punta: van a la superficie y se acumulan en las puntas. Más herramientas: [todas las de Simulab](https://simulab.es/llms.txt).