Derivadas paso a paso
Escribe una función y te enseñamos qué regla se aplica en cada parte, hasta llegar a la derivada simplificada.
— f- - f′ (la pendiente de f en cada punto)
- 1
Regla del producto
(f · g)′ = f′ · g + f · g′
- 2
Derivada de una potencia
- 3
Derivada del seno
- 4
Junta y simplifica
Usa ^ para las potencias, / para dividir y paréntesis donde haga falta. Funciones: sen, cos, tg, ln, √ o sqrt, e^x, arcsen, arccos y arctg. Por ejemplo: x^2 · sen(3x) o ln(x^2 + 1).
La derivada de una función mide lo rápido que cambia: en cada punto es la pendiente de la recta tangente a la gráfica. Donde la derivada es positiva la función crece, donde es negativa decrece, y donde vale 0 puede haber un máximo o un mínimo.
Escribe una función y verás qué regla se aplica a cada parte (suma, producto, cociente, potencia, cadena…) y cómo se juntan hasta la derivada simplificada. En la gráfica aparecen la función y su derivada: fíjate en que f′ vale 0 justo donde f tiene un máximo o un mínimo.
Deriva f(x) = x² · sen(x).
- Es un producto: (f · g)′ = f′ · g + f · g′, con f = x² y g = sen(x).
- La derivada de x² es 2x (regla de la potencia).
- La derivada de sen(x) es cos(x).
- Juntando: 2x · sen(x) + x² · cos(x).
f′(x) = 2x · sen(x) + x² · cos(x)
Preguntas frecuentes
¿Qué es la regla de la cadena?
Sirve para derivar una función dentro de otra. Se deriva la de fuera dejando igual lo de dentro y se multiplica por la derivada de lo de dentro: la derivada de sen(3x) es cos(3x) · 3.
¿Cuándo se usa la regla del cociente?
Cuando la función es una división con la variable en el denominador: (f / g)′ = (f′ · g − f · g′) / g². Si el denominador es un número, es más fácil dividir la derivada del numerador entre ese número.
¿Cuál es la derivada de eˣ y de ln(x)?
La de eˣ es ella misma, eˣ. La de ln(x) es 1/x. Con la regla de la cadena: la derivada de e^(2x) es 2e^(2x) y la de ln(x² + 1) es 2x / (x² + 1).
¿Para qué sirven las derivadas?
Para estudiar funciones (crecimiento, máximos y mínimos), resolver problemas de optimización y, en física, para pasar de la posición a la velocidad y de la velocidad a la aceleración.