Matemáticas · Probabilidad

Distribución normal

Q: ¿Por qué P(X ≤ a) y P(X < a) dan lo mismo?

Porque en una variable continua la probabilidad de un valor exacto es 0. Con la normal da igual poner ≤ o <.

Q: ¿Qué es la regla del 68-95-99,7?

En una normal, alrededor del 68 % de los datos está a menos de una desviación típica de la media, el 95 % a menos de dos y el 99,7 % a menos de tres.

Calcula probabilidades de una N(μ, σ) paso a paso: tipifica, busca en la tabla y usa la simetría, como en el examen.

Datos

X sigue una normal N(μ, σ). Elige qué quieres calcular.

Media μDesviación σa

Resultado

P(X ≤ 1,00)

0,8413

84,13 % · sin redondear z: 0,8413

Paso a paso

1
Tipifica a
Z = (X − μ) / σ = (1,00 − 0,00) / 1,00 = 1,0000 ≈ 1,00
2
P(Z ≤ 1,00)
Se lee directamente en la tabla: fila 1,0, columna 0,00 → 0,8413.

Tabla de la normal N(0, 1): P(Z ≤ z)

La fila da el entero y la primera decimal de z; la columna, la segunda decimal. Resaltada, la casilla usada en este cálculo.

z	0,00	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09
0,0	0,5000	0,5040	0,5080	0,5120	0,5160	0,5199	0,5239	0,5279	0,5319	0,5359
0,1	0,5398	0,5438	0,5478	0,5517	0,5557	0,5596	0,5636	0,5675	0,5714	0,5753
0,2	0,5793	0,5832	0,5871	0,5910	0,5948	0,5987	0,6026	0,6064	0,6103	0,6141
0,3	0,6179	0,6217	0,6255	0,6293	0,6331	0,6368	0,6406	0,6443	0,6480	0,6517
0,4	0,6554	0,6591	0,6628	0,6664	0,6700	0,6736	0,6772	0,6808	0,6844	0,6879
0,5	0,6915	0,6950	0,6985	0,7019	0,7054	0,7088	0,7123	0,7157	0,7190	0,7224
0,6	0,7257	0,7291	0,7324	0,7357	0,7389	0,7422	0,7454	0,7486	0,7517	0,7549
0,7	0,7580	0,7611	0,7642	0,7673	0,7704	0,7734	0,7764	0,7794	0,7823	0,7852
0,8	0,7881	0,7910	0,7939	0,7967	0,7995	0,8023	0,8051	0,8078	0,8106	0,8133
0,9	0,8159	0,8186	0,8212	0,8238	0,8264	0,8289	0,8315	0,8340	0,8365	0,8389
1,0	0,8413	0,8438	0,8461	0,8485	0,8508	0,8531	0,8554	0,8577	0,8599	0,8621
1,1	0,8643	0,8665	0,8686	0,8708	0,8729	0,8749	0,8770	0,8790	0,8810	0,8830
1,2	0,8849	0,8869	0,8888	0,8907	0,8925	0,8944	0,8962	0,8980	0,8997	0,9015
1,3	0,9032	0,9049	0,9066	0,9082	0,9099	0,9115	0,9131	0,9147	0,9162	0,9177
1,4	0,9192	0,9207	0,9222	0,9236	0,9251	0,9265	0,9279	0,9292	0,9306	0,9319
1,5	0,9332	0,9345	0,9357	0,9370	0,9382	0,9394	0,9406	0,9418	0,9429	0,9441
1,6	0,9452	0,9463	0,9474	0,9484	0,9495	0,9505	0,9515	0,9525	0,9535	0,9545
1,7	0,9554	0,9564	0,9573	0,9582	0,9591	0,9599	0,9608	0,9616	0,9625	0,9633
1,8	0,9641	0,9649	0,9656	0,9664	0,9671	0,9678	0,9686	0,9693	0,9699	0,9706
1,9	0,9713	0,9719	0,9726	0,9732	0,9738	0,9744	0,9750	0,9756	0,9761	0,9767
2,0	0,9772	0,9778	0,9783	0,9788	0,9793	0,9798	0,9803	0,9808	0,9812	0,9817
2,1	0,9821	0,9826	0,9830	0,9834	0,9838	0,9842	0,9846	0,9850	0,9854	0,9857
2,2	0,9861	0,9864	0,9868	0,9871	0,9875	0,9878	0,9881	0,9884	0,9887	0,9890
2,3	0,9893	0,9896	0,9898	0,9901	0,9904	0,9906	0,9909	0,9911	0,9913	0,9916
2,4	0,9918	0,9920	0,9922	0,9925	0,9927	0,9929	0,9931	0,9932	0,9934	0,9936
2,5	0,9938	0,9940	0,9941	0,9943	0,9945	0,9946	0,9948	0,9949	0,9951	0,9952
2,6	0,9953	0,9955	0,9956	0,9957	0,9959	0,9960	0,9961	0,9962	0,9963	0,9964
2,7	0,9965	0,9966	0,9967	0,9968	0,9969	0,9970	0,9971	0,9972	0,9973	0,9974
2,8	0,9974	0,9975	0,9976	0,9977	0,9977	0,9978	0,9979	0,9979	0,9980	0,9981
2,9	0,9981	0,9982	0,9982	0,9983	0,9984	0,9984	0,9985	0,9985	0,9986	0,9986
3,0	0,9987	0,9987	0,9987	0,9988	0,9988	0,9989	0,9989	0,9989	0,9990	0,9990

Qué es y cómo se usa

La distribución normal, o campana de Gauss, describe muchas variables reales: estaturas, notas, errores de medida… Se escribe N(μ, σ), donde μ es la media (el centro de la campana) y σ la desviación típica (lo ancha que es). La probabilidad de un intervalo es el área bajo la curva en ese intervalo.

Como no se puede tener una tabla para cada μ y σ, se tipifica: Z = (X − μ) / σ convierte cualquier normal en la N(0, 1), que es la que viene en la tabla. La tabla da P(Z ≤ z) para z positivos; para los negativos se usa la simetría de la campana.

Elige qué quieres calcular, pon la media, la desviación y los valores, y verás los pasos, la casilla de la tabla que se usa y el área sombreada en la gráfica.

Ejemplo resuelto

Las notas de un examen siguen una N(6, 1,5). ¿Qué proporción de alumnos saca más de un 8?

Tipifica: z = (8 − 6) / 1,5 = 1,33.
En la tabla, P(Z ≤ 1,33) = 0,9082.
Piden «más de 8», que es el complementario: P(Z ≥ 1,33) = 1 − 0,9082 = 0,0918.

Alrededor del 9,2 % de los alumnos

Preguntas frecuentes

¿Qué es tipificar?

Pasar de una N(μ, σ) a la N(0, 1) con Z = (X − μ) / σ. El valor z dice a cuántas desviaciones típicas de la media está x, y es lo que se busca en la tabla.

¿Cómo se calcula P(Z ≤ z) si z es negativo?

Por simetría: P(Z ≤ −a) = P(Z ≥ a) = 1 − P(Z ≤ a). Por ejemplo, P(Z ≤ −1) = 1 − 0,8413 = 0,1587.

¿Por qué P(X ≤ a) y P(X < a) dan lo mismo?

Porque en una variable continua la probabilidad de un valor exacto es 0. Con la normal da igual poner ≤ o <.

¿Qué es la regla del 68-95-99,7?

En una normal, alrededor del 68 % de los datos está a menos de una desviación típica de la media, el 95 % a menos de dos y el 99,7 % a menos de tres.