Ecuaciones diferenciales
Escribe y′ = f(x, y), arrastra la condición inicial y compara Euler, Heun y Runge-Kutta sobre el campo de direcciones.
Tu ecuación
Campo de direcciones
Cada rayita tiene la pendiente que marca la ecuación en ese punto; las soluciones las siguen. Arrastra sobre la gráfica para mover la condición inicial. Discontinua: solución exacta (numérica muy fina).
Primeros pasos · Euler
| n | xₙ | yₙ | f(xₙ, yₙ) |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 2 | −2 |
| 1 | 0.5 | 1 | −0.5 |
| 2 | 1 | 0.75 | 0.25 |
| 3 | 1.5 | 0.875 | 0.625 |
| 4 | 2 | 1.1875 | 0.8125 |
| 5 | 2.5 | 1.5938 | 0.9063 |
| 6 | 3 | 2.0469 | 0.9531 |
| 7 | 3.5 | 2.5234 | 0.9766 |
Problema de valor inicial
y(6) con cada método
| Método | Orden | y | Error |
|---|---|---|---|
| Euler | 1 | 5.00073 | 0.0067 |
| Heun | 2 | 5.01066 | 0.00322 |
| RK4 | 4 | 5.00747 | 0.00004 |
| Exacta | 5.00744 |
Un método de orden p divide su error entre 2ᵖ cuando el paso se reduce a la mitad: Euler entre 2, Heun entre 4 y Runge-Kutta 4 entre 16. Prueba a cambiar h de 0,5 a 0,25 y mira la tabla.
Qué es y cómo se usa
Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, y′ = f(x, y), dice cuál es la pendiente de la solución en cada punto del plano. Si se dibuja una rayita con esa pendiente en muchos puntos se obtiene el campo de direcciones, y las soluciones son las curvas que siguen esas rayitas. Para elegir una sola hace falta una condición inicial, y(x₀) = y₀.
Muchas ecuaciones no se pueden resolver con fórmulas, y se resuelven paso a paso con métodos numéricos. El de Euler avanza un paso h en la dirección de la pendiente: y_{n+1} = y_n + h·f(x_n, y_n). El de Heun (Euler mejorado) promedia la pendiente al principio y al final del paso, y el de Runge-Kutta 4 combina cuatro pendientes y es muchísimo más preciso.
Escribe la ecuación, arrastra sobre la gráfica para mover la condición inicial y cambia el paso h. La tabla muestra los primeros pasos de cada método y el error final frente a una solución muy precisa (la línea discontinua).
Ejemplo resuelto
Aproxima y(1) para y′ = y, y(0) = 1, con el método de Euler y h = 0,5.
- Paso 1: y₁ = y₀ + h·f(0, 1) = 1 + 0,5 · 1 = 1,5.
- Paso 2: y₂ = y₁ + h·f(0,5; 1,5) = 1,5 + 0,5 · 1,5 = 2,25.
- La solución exacta es y = eˣ, así que y(1) = e ≈ 2,718.
- Error: 2,718 − 2,25 ≈ 0,47. Con h = 0,25 baja a la mitad, más o menos.
y(1) ≈ 2,25 con Euler (exacto: e ≈ 2,718)
Preguntas frecuentes
¿Qué es el orden de un método numérico?
Cómo disminuye el error global al reducir el paso: en un método de orden p el error es proporcional a hᵖ. Euler es de orden 1, Heun de orden 2 y Runge-Kutta 4 de orden 4, así que al dividir h entre 2 el error se divide entre 2, 4 y 16, respectivamente.
¿Por qué no usar siempre un paso muy pequeño?
Porque cada paso cuesta cálculos y se acumulan errores de redondeo. Normalmente sale más a cuenta un método de orden alto, como RK4, con un paso moderado.
¿Puede una solución dejar de existir?
Sí. En y′ = x² + y², por ejemplo, la solución crece tan deprisa que se va a infinito en un valor finito de x. Los métodos numéricos lo notan porque los valores se disparan.
¿Qué relación tiene el campo de direcciones con las isoclinas?
Las isoclinas son las curvas donde f(x, y) vale lo mismo, así que en ellas todas las rayitas son paralelas. Dibujarlas es una forma rápida de esbozar el campo a mano.