# Modelo de una epidemia (SIR) > Susceptibles, infectados y recuperados: cómo crece y se apaga una epidemia según R₀, y qué hacen la vacunación y la reducción de contactos. - Página interactiva: https://simulab.es/matematicas/epidemias - Asignatura: [Matemáticas](https://simulab.es/matematicas.md) - Niveles: [ESO](https://simulab.es/eso.md), [Bachillerato](https://simulab.es/bachillerato.md) - Gratis, en español y en el navegador, sin registro. ## Qué es y cómo se usa El modelo SIR divide a la población en tres grupos: susceptibles (S, pueden contagiarse), infectados (I, contagian) y recuperados (R, ya no se contagian). Los contagios dependen de cuántos encuentros hay entre susceptibles e infectados: S' = −β·S·I, I' = β·S·I − γ·I y R' = γ·I. El parámetro clave es R₀ = β/γ, el número medio de personas que contagia un infectado al principio, cuando todos son susceptibles. Si R₀ > 1 la epidemia crece; si R₀ < 1, se apaga. A medida que la gente se recupera, el número efectivo Rₜ = R₀·S baja, y el pico llega cuando S cae por debajo de 1/R₀. Cambia R₀ y los días que dura el contagio, vacuna a parte de la población o reduce los contactos a partir de un día, y mira cómo cambian el pico y el total de contagiados. ## Ejemplo resuelto **Una enfermedad tiene R₀ = 2,5. ¿Qué porcentaje de la población hay que vacunar para alcanzar la inmunidad de grupo?** 1. La epidemia no crece si Rₜ = R₀ · (fracción susceptible) < 1. 2. Si vacunamos una fracción v, la susceptible es 1 − v: R₀·(1 − v) < 1. 3. Despejando: v > 1 − 1/R₀ = 1 − 1/2,5 = 0,6. 4. Hay que vacunar a más del 60 % de la población (con una vacuna eficaz al 100 %). **Solución:** Más del 60 % ## Preguntas frecuentes ### ¿Qué es R₀? El número básico de reproducción: cuántas personas contagia de media un infectado en una población donde nadie es inmune. Para la gripe estacional es alrededor de 1,3; para el sarampión, de 12 a 18. ### ¿Por qué la epidemia se acaba aunque no se haga nada? Porque los infectados se recuperan y dejan de ser susceptibles. Cuando quedan pocos susceptibles, cada infectado contagia de media a menos de uno (Rₜ < 1) y los casos bajan. Pero para entonces se ha contagiado mucha gente, más de la necesaria para la inmunidad de grupo. ### ¿Para qué sirve aplanar la curva? Reducir contactos baja el pico y lo retrasa. Aunque al final se contagie gente parecida, no enferma toda a la vez, y los hospitales pueden atender a todos. Además da tiempo a que lleguen vacunas o tratamientos. ### ¿Es realista este modelo? Es el más sencillo: supone que todos se mezclan igual, que la inmunidad es permanente y que no hay periodo de incubación. Los modelos reales añaden más grupos (expuestos, asintomáticos, edades), pero el comportamiento básico es el mismo. ## Herramientas relacionadas - [Estimar π con puntos al azar](https://simulab.es/matematicas/estimacion-pi.md): El método de Monte Carlo: puntos al azar en un cuadrado, cuántos caen dentro del círculo y cómo la estimación de π se acerca al valor real. - [Modelo presa-depredador](https://simulab.es/matematicas/presa-depredador.md): Ecuaciones de Lotka-Volterra: poblaciones en el tiempo, plano de fases, equilibrio y capacidad de carga. - [Ecuaciones diferenciales](https://simulab.es/matematicas/ecuaciones-diferenciales.md): Campo de direcciones de y′ = f(x, y) y métodos numéricos (Euler, Heun y Runge-Kutta 4) paso a paso, con su error. - [Estadística descriptiva](https://simulab.es/matematicas/estadistica.md): Media, mediana, moda, cuartiles y desviación típica paso a paso, con tabla de frecuencias, histograma y diagrama de caja. - [Números complejos](https://simulab.es/matematicas/numeros-complejos.md): Suma, resta, producto, cociente, potencias y raíces paso a paso, en forma binómica y polar, sobre el plano complejo. - [Regresión lineal](https://simulab.es/matematicas/regresion-lineal.md): Nube de puntos, rectas de regresión y coeficiente de correlación paso a paso, con tabla de cálculo y predicciones. - [Calculadora de matrices](https://simulab.es/matematicas/calculadora-matrices.md): Suma, resta, producto, determinante (Sarrus), inversa por Gauss-Jordan, rango y forma escalonada, paso a paso y con fracciones exactas. - [Factorizar polinomios](https://simulab.es/matematicas/polinomios.md): Factor común, identidades notables y regla de Ruffini con su tabla, paso a paso, hasta dejar el polinomio en factores y con todas sus raíces. Más herramientas: [todas las de Simulab](https://simulab.es/llms.txt).