Límites paso a paso
Escribe la función y el punto: verás si basta con sustituir, qué indeterminación sale y cómo se resuelve.
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Indeterminación 0/0: regla de L'Hôpital
Se deriva el numerador y el denominador por separado (no es la regla del cociente) y se vuelve a calcular el límite.
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Sustituye
La función es continua en x = 2: basta con sustituir.
Valores de la función cada vez más cerca del punto: sirven para comprobar el resultado.
| x | f(x) |
|---|---|
| 1,9 | 3,9 |
| 1,99 | 3,99 |
| 1,999 | 3,999 |
| 1,9999 | 3,9999 |
| 1,99999 | 3,99999 |
| x | f(x) |
|---|---|
| 2,1 | 4,1 |
| 2,01 | 4,01 |
| 2,001 | 4,001 |
| 2,0001 | 4,0001 |
| 2,00001 | 4,00001 |
El límite de una función en un punto es el valor al que se acercan sus valores cuando x se acerca a ese punto, aunque la función no esté definida justo ahí. También se estudia qué pasa cuando x crece sin parar (x → +∞) o decrece (x → −∞).
Lo primero es sustituir. Si sale un número, ese es el límite. Si sale una indeterminación, como 0/0 o ∞/∞, hay que transformar la expresión: factorizar y simplificar, comparar grados en los cocientes de polinomios o aplicar la regla de L'Hôpital. Si sale un número entre 0, se miran los límites laterales.
La tabla de valores muestra la función cada vez más cerca del punto y sirve para comprobar el resultado.
Calcula el límite de (x² − 4)/(x − 2) cuando x → 2.
- Al sustituir sale 0/0: es una indeterminación.
- Factoriza el numerador: x² − 4 = (x − 2)(x + 2).
- Simplifica: (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = x + 2.
- Ahora sí se puede sustituir: 2 + 2 = 4.
El límite es 4 (con L'Hôpital sale lo mismo: 2x/1 = 4)
Preguntas frecuentes
¿Qué es una indeterminación?
Una expresión como 0/0, ∞/∞, ∞ − ∞, 0 · ∞ o 1^∞, que puede dar cualquier resultado según la función. No significa que el límite no exista: hay que hacer más cálculos para averiguarlo.
¿Qué es la regla de L'Hôpital?
Si al sustituir sale 0/0 o ∞/∞, el límite del cociente es el mismo que el del cociente de las derivadas: lím f/g = lím f′/g′. Se deriva el numerador y el denominador por separado, no con la regla del cociente.
¿Cuándo no existe un límite?
Cuando los límites laterales (acercándose por la izquierda y por la derecha) son distintos. Por ejemplo, 1/x cuando x → 0: por la derecha va a +∞ y por la izquierda a −∞.
¿Cómo se calcula el límite en el infinito de un cociente de polinomios?
Se comparan los grados. Si el numerador tiene mayor grado, el límite es ±∞; si tiene menor grado, es 0; y si tienen el mismo grado, es el cociente de los coeficientes principales.