Números complejos
Opera con números complejos paso a paso y míralos en el plano: arrastra z y w.
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Módulo y argumento de z
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Módulo y argumento de w
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Multiplica como dos binomios
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Usa que i² = −1 y agrupa
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En forma polar: los módulos se multiplican y los argumentos se suman
Los argumentos se dan entre 0° y 360°, redondeados a dos decimales. En forma polar, rα es el número de módulo r y argumento α.
Un número complejo tiene una parte real y una imaginaria: z = a + bi, donde i es la unidad imaginaria, con i² = −1. Se dibuja como un punto (o un vector) en el plano complejo: la parte real en el eje horizontal y la imaginaria en el vertical.
También se puede escribir en forma polar, r_α, con el módulo r = √(a² + b²) (la distancia al origen) y el argumento α (el ángulo con el eje real). La forma binómica es cómoda para sumar y restar; la polar, para multiplicar, dividir, elevar a potencias y sacar raíces.
Elige una operación, escribe los números o arrástralos por el plano y sigue cada paso: productos con i², cocientes con el conjugado, la fórmula de De Moivre y las n raíces repartidas en un polígono regular.
Calcula (3 + 2i)/(1 − 2i).
- Multiplica arriba y abajo por el conjugado del denominador, 1 + 2i.
- Arriba: (3 + 2i)(1 + 2i) = 3 + 6i + 2i + 4i² = −1 + 8i.
- Abajo: (1 − 2i)(1 + 2i) = 1² + 2² = 5.
- Separa: −1/5 + 8/5·i.
(3 + 2i)/(1 − 2i) = −0,2 + 1,6i
Preguntas frecuentes
¿Cómo se calcula el argumento de un número complejo?
Con α = arctg(b/a), corrigiendo el cuadrante: si a < 0 se suman 180°, y si a > 0 y b < 0 se suman 360° para dejarlo entre 0° y 360°. La calculadora solo da ángulos entre −90° y 90°, por eso hay que mirar dónde está el punto.
¿Qué es el conjugado?
El conjugado de a + bi es a − bi: el simétrico respecto al eje real. Al multiplicar un número por su conjugado sale un número real, a² + b², y por eso se usa para dividir.
¿Cuántas raíces n-ésimas tiene un número complejo?
Exactamente n, todas con el mismo módulo, ⁿ√r, y argumentos separados 360°/n. En el plano forman un polígono regular de n lados centrado en el origen.
¿Qué dice la fórmula de De Moivre?
Que para elevar un complejo en forma polar a n se eleva el módulo a n y se multiplica el argumento por n: (r_α)ⁿ = (rⁿ)_{n·α}.