Presa y depredador
Conejos y zorros con las ecuaciones de Lotka-Volterra: cambia la natalidad, la caza y la mortalidad y mira cómo oscilan las dos poblaciones.
Poblaciones en el tiempo
t = 0Presas y depredadores. Los depredadores alcanzan su máximo un poco después que las presas: primero tiene que haber comida.
Plano de fases
Cada punto es un estado (presas, depredadores). Sin límite de recursos la trayectoria es una curva cerrada alrededor del equilibrio (círculo vacío): el ciclo se repite siempre igual. Con capacidad de carga K, la espiral se cierra hacia el equilibrio.
Modelo
x′ = a·x − b·x·y
y′ = d·x·y − c·y
En el equilibrio hay c/d = 20 presas y a/b = 10 depredadores. Fíjate en lo curioso: si mejora la natalidad de las presas (a), en el equilibrio no hay más presas, sino más depredadores.
Qué es y cómo se usa
El modelo de Lotka-Volterra describe dos poblaciones que dependen una de otra, como conejos y zorros. Sin depredadores, las presas crecen exponencialmente (a·x); cada encuentro entre una presa y un depredador elimina presas (−b·x·y) y alimenta a los depredadores (d·x·y), que sin comida mueren a un ritmo c.
El resultado son oscilaciones: cuando hay muchas presas los depredadores prosperan, se comen las presas y luego pasan hambre, lo que deja recuperarse a las presas, y vuelta a empezar. En el plano de fases (presas en un eje, depredadores en el otro) el ciclo es una curva cerrada alrededor del punto de equilibrio (c/d, a/b).
Mueve los parámetros y las poblaciones iniciales. Con la capacidad de carga K las presas ya no crecen sin límite (crecimiento logístico) y las oscilaciones se amortiguan hasta el equilibrio.
Ejemplo resuelto
Con a = 1, b = 0,1, c = 1,5 y d = 0,075, ¿dónde está el equilibrio?
- En el equilibrio las dos derivadas son 0 con x, y > 0.
- y′ = y·(d·x − c) = 0 → x = c/d = 1,5 / 0,075 = 20 presas.
- x′ = x·(a − b·y) = 0 → y = a/b = 1 / 0,1 = 10 depredadores.
Equilibrio en (20, 10)
Preguntas frecuentes
¿Por qué el pico de depredadores llega después del de presas?
Porque los depredadores necesitan tiempo para reproducirse con la comida disponible. Sus máximos van un cuarto de ciclo, más o menos, por detrás de los de las presas.
¿Hay datos reales que sigan este modelo?
El ejemplo clásico son las pieles de lince y de liebre que compró la Compañía de la Bahía de Hudson durante casi un siglo: muestran ciclos de unos 10 años con el lince por detrás de la liebre. El modelo es una simplificación, pero capta la idea.
¿Qué pasa si aumento la natalidad de las presas?
Algo sorprendente: en el equilibrio no hay más presas, sino más depredadores, porque el equilibrio de presas es c/d y no depende de a. Todo el aumento se lo comen los depredadores.
¿Qué cambia la capacidad de carga?
Con K las presas crecen de forma logística, frenándose al acercarse a K. Las oscilaciones se amortiguan y el sistema acaba en el equilibrio. Si K es menor que c/d, los depredadores no tienen comida suficiente y se extinguen.