# Modelo presa-depredador

> Ecuaciones de Lotka-Volterra: poblaciones en el tiempo, plano de fases, equilibrio y capacidad de carga.

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## Qué es y cómo se usa

El modelo de Lotka-Volterra describe dos poblaciones que dependen una de otra, como conejos y zorros. Sin depredadores, las presas crecen exponencialmente (a·x); cada encuentro entre una presa y un depredador elimina presas (−b·x·y) y alimenta a los depredadores (d·x·y), que sin comida mueren a un ritmo c.

El resultado son oscilaciones: cuando hay muchas presas los depredadores prosperan, se comen las presas y luego pasan hambre, lo que deja recuperarse a las presas, y vuelta a empezar. En el plano de fases (presas en un eje, depredadores en el otro) el ciclo es una curva cerrada alrededor del punto de equilibrio (c/d, a/b).

Mueve los parámetros y las poblaciones iniciales. Con la capacidad de carga K las presas ya no crecen sin límite (crecimiento logístico) y las oscilaciones se amortiguan hasta el equilibrio.

## Ejemplo resuelto

**Con a = 1, b = 0,1, c = 1,5 y d = 0,075, ¿dónde está el equilibrio?**

1. En el equilibrio las dos derivadas son 0 con x, y > 0.
2. y′ = y·(d·x − c) = 0 → x = c/d = 1,5 / 0,075 = 20 presas.
3. x′ = x·(a − b·y) = 0 → y = a/b = 1 / 0,1 = 10 depredadores.

**Solución:** Equilibrio en (20, 10)

## Preguntas frecuentes

### ¿Por qué el pico de depredadores llega después del de presas?

Porque los depredadores necesitan tiempo para reproducirse con la comida disponible. Sus máximos van un cuarto de ciclo, más o menos, por detrás de los de las presas.

### ¿Hay datos reales que sigan este modelo?

El ejemplo clásico son las pieles de lince y de liebre que compró la Compañía de la Bahía de Hudson durante casi un siglo: muestran ciclos de unos 10 años con el lince por detrás de la liebre. El modelo es una simplificación, pero capta la idea.

### ¿Qué pasa si aumento la natalidad de las presas?

Algo sorprendente: en el equilibrio no hay más presas, sino más depredadores, porque el equilibrio de presas es c/d y no depende de a. Todo el aumento se lo comen los depredadores.

### ¿Qué cambia la capacidad de carga?

Con K las presas crecen de forma logística, frenándose al acercarse a K. Las oscilaciones se amortiguan y el sistema acaba en el equilibrio. Si K es menor que c/d, los depredadores no tienen comida suficiente y se extinguen.

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