Matemáticas · Cálculo

Polinomio de Taylor

Aproxima una función por un polinomio y mira cómo se le pega al subir el grado.

Tu función

Ejemplos:

Polinomio de Maclaurin de grado 5fP₅

P_{5} (x) = x - \frac{1}{6} x^{3} + \frac{1}{120} x^{5}

Desarrollo

n · grado5a · centro0x · punto donde comparar1

f(1)0,841471

P₅(1)0,841667

Error |f − P|0,00019568

Error relativo0,0233 %

Cerca de a el polinomio se pega a la función, y cuanto mayor es el grado, más lejos llega el parecido. Pero no siempre llega a todas partes: con ln(1 + x) o 1/(1 − x) el polinomio solo se acerca a la función entre −1 y 1, por mucho que subas el grado. Es el radio de convergencia.

Fórmula

Cada coeficiente es una derivada en a dividida entre el factorial de su orden:

P_{n} (x) = k = 0 \sum n \frac{f ^{(k)} ( a )}{k !} (x - a)^{k} = f (a) + f^{'} (a) (x - a) + \frac{f ^{''} ( a )}{2 !} (x - a)^{2} + \dots

Así P tiene en a el mismo valor, la misma pendiente, la misma curvatura… que f, hasta la derivada n-ésima. Con a = 0 se llama polinomio de Maclaurin. Función: $f (x) = sen (x)$

Derivadas en el centro

k	f⁽ᵏ⁾(a)	f⁽ᵏ⁾(a) / k!
0	$0$	$0$
1	$1$	$1$
2	$0$	$0$
3	$- 1$	$- \frac{1}{6}$
4	$0$	$0$
5	$1$	$\frac{1}{120}$

Qué es y cómo se usa

El polinomio de Taylor de grado n de una función f en un punto a es el polinomio que mejor se parece a f cerca de a: tiene el mismo valor y las mismas derivadas hasta la n-ésima. Cuando a = 0 se llama polinomio de Maclaurin.

Se construye con la fórmula P(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)/k! · (x − a)ᵏ. Así es como se calculan en la práctica valores como sen 0,1 o e: con unas pocas sumas y productos se obtiene una aproximación muy buena.

Escribe una función, elige el centro y sube el grado. En la gráfica verás cómo el polinomio se pega cada vez más a la función, y en la tabla, las derivadas en el centro. El punto x de comparación muestra el error cometido.

Ejemplo resuelto

Calcula el polinomio de Maclaurin de grado 5 de sen x y úsalo para aproximar sen 0,5.

Las derivadas de sen x en 0 son 0, 1, 0, −1, 0, 1: se repiten cada cuatro.
P₅(x) = x − x³/3! + x⁵/5! = x − x³/6 + x⁵/120.
P₅(0,5) = 0,5 − 0,020833 + 0,000260 = 0,479427.
El valor real es sen 0,5 = 0,4794255: el error es de menos de dos millonésimas.

P₅(x) = x − x³/6 + x⁵/120 y sen 0,5 ≈ 0,479427

Preguntas frecuentes

¿Qué diferencia hay entre Taylor y Maclaurin?

Ninguna en el método: el polinomio de Maclaurin es el de Taylor centrado en a = 0.

¿Por qué el polinomio de ln(1 + x) no se acerca a la función para x > 1?

Porque su serie de Taylor solo converge en el intervalo (−1, 1]: es su radio de convergencia. Fuera de él, subir el grado empeora la aproximación en lugar de mejorarla.

¿Cómo se estima el error?

Con el resto de Lagrange: el error es f⁽ⁿ⁺¹⁾(c)/(n + 1)! · (x − a)ⁿ⁺¹ para algún c entre a y x. En la práctica, cuanto más cerca de a y mayor el grado, menor el error.

¿Qué funciones se pueden escribir?

Cualquier combinación de x con +, −, ·, /, potencias, sen, cos, tg, eˣ, ln, √, arcsen, arccos y arctg, siempre que la función sea derivable en el centro elegido.