# Polinomio de Taylor

> Aproxima cualquier función por su polinomio de Taylor o Maclaurin, sube el grado y mira el error.

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## Qué es y cómo se usa

El polinomio de Taylor de grado n de una función f en un punto a es el polinomio que mejor se parece a f cerca de a: tiene el mismo valor y las mismas derivadas hasta la n-ésima. Cuando a = 0 se llama polinomio de Maclaurin.

Se construye con la fórmula P(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)/k! · (x − a)ᵏ. Así es como se calculan en la práctica valores como sen 0,1 o e: con unas pocas sumas y productos se obtiene una aproximación muy buena.

Escribe una función, elige el centro y sube el grado. En la gráfica verás cómo el polinomio se pega cada vez más a la función, y en la tabla, las derivadas en el centro. El punto x de comparación muestra el error cometido.

## Ejemplo resuelto

**Calcula el polinomio de Maclaurin de grado 5 de sen x y úsalo para aproximar sen 0,5.**

1. Las derivadas de sen x en 0 son 0, 1, 0, −1, 0, 1: se repiten cada cuatro.
2. P₅(x) = x − x³/3! + x⁵/5! = x − x³/6 + x⁵/120.
3. P₅(0,5) = 0,5 − 0,020833 + 0,000260 = 0,479427.
4. El valor real es sen 0,5 = 0,4794255: el error es de menos de dos millonésimas.

**Solución:** P₅(x) = x − x³/6 + x⁵/120 y sen 0,5 ≈ 0,479427

## Preguntas frecuentes

### ¿Qué diferencia hay entre Taylor y Maclaurin?

Ninguna en el método: el polinomio de Maclaurin es el de Taylor centrado en a = 0.

### ¿Por qué el polinomio de ln(1 + x) no se acerca a la función para x > 1?

Porque su serie de Taylor solo converge en el intervalo (−1, 1]: es su radio de convergencia. Fuera de él, subir el grado empeora la aproximación en lugar de mejorarla.

### ¿Cómo se estima el error?

Con el resto de Lagrange: el error es f⁽ⁿ⁺¹⁾(c)/(n + 1)! · (x − a)ⁿ⁺¹ para algún c entre a y x. En la práctica, cuanto más cerca de a y mayor el grado, menor el error.

### ¿Qué funciones se pueden escribir?

Cualquier combinación de x con +, −, ·, /, potencias, sen, cos, tg, eˣ, ln, √, arcsen, arccos y arctg, siempre que la función sea derivable en el centro elegido.

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