Factorizar polinomios
Factor común, identidades notables y Ruffini con su tabla, como en clase, hasta dejar el polinomio en factores.
Raíces:
- 1
Ruffini con x = 1
Las raíces racionales posibles son los divisores del término independiente entre los del coeficiente principal. Probando, 1 da resto 0, así que (x - 1) es un factor.
Baja el primer coeficiente, multiplícalo por la raíz, súmalo al siguiente y repite. El último número es el resto.
- 2
Resuelve la ecuación de segundo grado
Las raíces de x^2 - x - 2 = 0 salen de la fórmula x = (−b ± √Δ)/2a, con Δ = b² − 4ac.
- 3
Raíces
Se ha comprobado que al multiplicar los factores sale exactamente el polinomio original.
Factorizar un polinomio es escribirlo como producto de polinomios más sencillos, igual que 12 = 2 · 2 · 3. Sirve para encontrar sus raíces (los valores que lo anulan), simplificar fracciones algebraicas y resolver ecuaciones de grado alto.
Primero se saca factor común (un número o una potencia de x). Después se buscan identidades notables y, si el grado es 3 o más, se aplica la regla de Ruffini con las raíces posibles: los divisores del término independiente (divididos entre los del coeficiente principal, si no es 1). Cuando queda un factor de segundo grado, se resuelve con la fórmula.
Factoriza P(x) = x³ − 2x² − x + 2.
- Las raíces racionales posibles son los divisores de 2: ±1 y ±2.
- Con Ruffini, x = 1 da resto 0: P(x) = (x − 1)(x² − x − 2).
- Resuelve x² − x − 2 = 0: x = 2 y x = −1.
- Junta todos los factores.
P(x) = (x + 1)(x − 1)(x − 2)
Preguntas frecuentes
¿Qué valores hay que probar con Ruffini?
Los divisores del término independiente, con signo más y menos. Si el coeficiente principal no es 1, también las fracciones de esos divisores entre los divisores del coeficiente principal.
¿Qué relación hay entre raíces y factores?
Si a es raíz del polinomio (P(a) = 0), entonces (x − a) es un factor. Es el teorema del factor, y por eso el resto de Ruffini tiene que dar 0.
¿Qué es una raíz doble?
Una raíz que aparece dos veces, como x = 3 en (x − 3)². La gráfica del polinomio toca el eje X en ese punto pero no lo cruza.
¿Todos los polinomios se pueden factorizar?
No siempre con números racionales. x² + 1 no tiene raíces reales, y x² − 2 las tiene irracionales (±√2). Un polinomio de grado 3 o más sin raíces racionales no se puede seguir factorizando con Ruffini.