Paquete de ondas

En mecánica cuántica una partícula se describe con una función de onda ψ(x, t) que evoluciona según la ecuación de Schrödinger, iħ·∂ψ/∂t = −(ħ²/2m)·∂²ψ/∂x² + V(x)·ψ. Una partícula localizada es un paquete de ondas: una onda de momento k₀ dentro de una envolvente gaussiana de anchura σ. La probabilidad de encontrarla en cada punto es |ψ|².

Sin fuerzas, el paquete avanza y se va ensanchando, porque está hecho de componentes de distintos momentos que van a distinta velocidad. Al llegar a una barrera de potencial más alta que su energía, una partícula clásica rebotaría, pero parte del paquete la atraviesa: es el efecto túnel. Y con energía de sobra, parte de la onda se refleja igualmente.

Elige el potencial, el momento y la anchura del paquete y la forma de la barrera. El simulador resuelve la ecuación paso a paso con el método de Crank-Nicolson, que conserva la probabilidad total, y muestra qué fracción se refleja y cuál pasa.

Una partícula de energía E = 0,5 llega a una barrera de altura V₀ = 0,6 y anchura a = 3 (unidades con ħ = m = 1). ¿Qué probabilidad de atravesarla da la fórmula de onda plana?

1. Dentro de la barrera la onda decae con κ = √(2m(V₀ − E))/ħ = √(2 · 0,1) ≈ 0,447.
2. κ·a ≈ 1,342 y sinh(1,342) ≈ 1,783.
3. T = 1 / (1 + V₀²·sinh²(κa) / (4E(V₀ − E))) = 1 / (1 + 0,36 · 3,18 / 0,2) ≈ 0,149.
4. Un 15 %: aunque no tiene energía suficiente, casi una de cada siete partículas pasa. El paquete del simulador da algo más porque incluye componentes de más energía.

T ≈ 0,15 para una onda plana de esa energía