Modelo de una epidemia
Cómo se propaga una enfermedad contagiosa con el modelo SIR, y cuánto cambian el pico la vacunación y la reducción de contactos.
Población
susceptiblesinfectadosrecuperadosCada punto es un 0,25 % de la población. Día 0.
Evolución de la epidemia
Abajo, los infectados ampliados. La línea discontinua de arriba es el umbral de inmunidad de grupo, 1 − 1/R₀.
La enfermedad
Medidas
Mientras Rₜ = R₀ · (fracción susceptible) sea mayor que 1, los casos crecen. El pico llega cuando la fracción susceptible baja de 1/R₀ = 40 %. Reducir contactos baja y retrasa el pico.
Qué es y cómo se usa
El modelo SIR divide a la población en tres grupos: susceptibles (S, pueden contagiarse), infectados (I, contagian) y recuperados (R, ya no se contagian). Los contagios dependen de cuántos encuentros hay entre susceptibles e infectados: S' = −β·S·I, I' = β·S·I − γ·I y R' = γ·I.
El parámetro clave es R₀ = β/γ, el número medio de personas que contagia un infectado al principio, cuando todos son susceptibles. Si R₀ > 1 la epidemia crece; si R₀ < 1, se apaga. A medida que la gente se recupera, el número efectivo Rₜ = R₀·S baja, y el pico llega cuando S cae por debajo de 1/R₀.
Cambia R₀ y los días que dura el contagio, vacuna a parte de la población o reduce los contactos a partir de un día, y mira cómo cambian el pico y el total de contagiados.
Ejemplo resuelto
Una enfermedad tiene R₀ = 2,5. ¿Qué porcentaje de la población hay que vacunar para alcanzar la inmunidad de grupo?
- La epidemia no crece si Rₜ = R₀ · (fracción susceptible) < 1.
- Si vacunamos una fracción v, la susceptible es 1 − v: R₀·(1 − v) < 1.
- Despejando: v > 1 − 1/R₀ = 1 − 1/2,5 = 0,6.
- Hay que vacunar a más del 60 % de la población (con una vacuna eficaz al 100 %).
Más del 60 %
Preguntas frecuentes
¿Qué es R₀?
El número básico de reproducción: cuántas personas contagia de media un infectado en una población donde nadie es inmune. Para la gripe estacional es alrededor de 1,3; para el sarampión, de 12 a 18.
¿Por qué la epidemia se acaba aunque no se haga nada?
Porque los infectados se recuperan y dejan de ser susceptibles. Cuando quedan pocos susceptibles, cada infectado contagia de media a menos de uno (Rₜ < 1) y los casos bajan. Pero para entonces se ha contagiado mucha gente, más de la necesaria para la inmunidad de grupo.
¿Para qué sirve aplanar la curva?
Reducir contactos baja el pico y lo retrasa. Aunque al final se contagie gente parecida, no enferma toda a la vez, y los hospitales pueden atender a todos. Además da tiempo a que lleguen vacunas o tratamientos.
¿Es realista este modelo?
Es el más sencillo: supone que todos se mezclan igual, que la inmunidad es permanente y que no hay periodo de incubación. Los modelos reales añaden más grupos (expuestos, asintomáticos, edades), pero el comportamiento básico es el mismo.
Herramientas relacionadas
- Estimar π con puntos al azarEl método de Monte Carlo: puntos al azar en un cuadrado, cuántos caen dentro del círculo y cómo la estimación de π se acerca al valor real.
- Estadística descriptivaMedia, mediana, moda, cuartiles y desviación típica paso a paso, con tabla de frecuencias, histograma y diagrama de caja.
- Factorizar polinomiosFactor común, identidades notables y regla de Ruffini con su tabla, paso a paso, hasta dejar el polinomio en factores y con todas sus raíces.
- Resolver ecuaciones paso a pasoEscribe una ecuación de primer o segundo grado y mira cada paso: paréntesis, denominadores, fórmula general y comprobación.
- Transformaciones de funcionesMueve a, b, c y d en y = a·f(b(x − c)) + d y mira cómo se estira, refleja y desplaza la gráfica.
- Circunferencia unitariaArrastra el ángulo y mira seno, coseno y tangente en la circunferencia y como ondas, con valores exactos.