Estimar π
Lanza puntos al azar y cuenta cuántos caen dentro del círculo: con suficientes, sale π.
Puntos al azar en un cuadrado
0 puntos● dentro del cuarto de círculo · ● fuera
Lanzar puntos
Estimación según el número de puntos
La franja es donde cae la estimación el 95 % de las veces: se estrecha como 1/√N.
El cuarto de círculo de radio 1 tiene área π/4 y el cuadrado, 1. Si los puntos caen al azar, la fracción que queda dentro se acerca a π/4, así que π ≈ 4 · dentro/total. Converge despacio: para ganar una cifra decimal hacen falta unas 100 veces más puntos.
Qué es y cómo se usa
El método de Monte Carlo usa números al azar para calcular cosas que no son aleatorias. Para estimar π se lanzan puntos al azar en un cuadrado de lado 1 y se cuenta cuántos caen dentro del cuarto de círculo de radio 1 dibujado en él.
El cuarto de círculo ocupa π/4 del cuadrado, así que, si los puntos están bien repartidos, la fracción que cae dentro se acerca a π/4. Multiplicando por 4 sale π. Un punto (x, y) está dentro si x² + y² ≤ 1.
Pulsa y mira cómo la estimación oscila al principio y se va acercando a 3,14159. Converge despacio: el error baja como 1/√N, así que para ganar una cifra decimal hacen falta unas 100 veces más puntos.
Ejemplo resuelto
De 10 000 puntos lanzados al azar en el cuadrado, 7 868 caen dentro del cuarto de círculo. ¿Qué valor de π se estima? ¿Cuál es el error?
- Fracción dentro: 7 868 / 10 000 = 0,7868.
- π ≈ 4 · 0,7868 = 3,1472.
- Error: |3,1472 − 3,14159| ≈ 0,0056.
- Es del orden esperado: con 10 000 puntos el error típico es 4·√(0,785·0,215/10 000) ≈ 0,016.
π ≈ 3,147, con un error de unas 6 milésimas
Preguntas frecuentes
¿Por qué se multiplica por 4?
Porque se usa solo un cuarto de círculo: su área es π·1²/4 = π/4, y la del cuadrado es 1. La fracción de puntos dentro estima π/4; para obtener π hay que multiplicarla por 4.
¿Por qué tarda tanto en acertar decimales?
El error de una estimación por muestreo baja como 1/√N. Pasar de 100 a 10 000 puntos (100 veces más) solo divide el error entre 10, es decir, gana una cifra decimal.
¿Para qué sirve el método de Monte Carlo si hay mejores formas de calcular π?
Para π hay fórmulas mucho más rápidas, pero el método sirve para problemas donde no las hay: áreas y volúmenes de formas complicadas, integrales en muchas dimensiones, simulaciones de física, finanzas o riesgos.
¿Sale siempre el mismo resultado?
No: cada vez que empiezas los puntos son distintos, así que la estimación cambia. Lo que se mantiene es lo cerca que suele quedar del valor real para un número de puntos dado.
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