Integrales paso a paso
Integrales inmediatas y cambios de variable sencillos, con cada regla explicada, y definidas con la regla de Barrow.
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Integral de una suma
Se integra cada término por separado.
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Integral de una suma
Se integra cada término por separado.
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Saca la constante fuera
∫ k·f dx = k · ∫ f dx
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Regla de la potencia
∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / (n + 1).
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Saca la constante fuera
∫ k·f dx = k · ∫ f dx
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Regla de la potencia
∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / (n + 1).
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Integral de una constante
∫ k dx = k·x
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Simplifica y añade la constante
Hay infinitas primitivas, que se diferencian en una constante C. Se ha comprobado que al derivar el resultado sale la función original.
Integrar es lo contrario de derivar: buscar una función F cuya derivada sea la que te dan. A F se le llama primitiva y siempre se le suma una constante C, porque la derivada de una constante es 0.
Las integrales inmediatas salen de leer al revés la tabla de derivadas: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), ∫ 1/x dx = ln|x|, ∫ eˣ dx = eˣ, ∫ cos x dx = sen x… Si dentro hay algo lineal, como 3x + 1, se divide entre su coeficiente. Y si un factor es la derivada de lo de dentro del otro (como 2x · (x² + 1)³), se hace un cambio de variable.
La integral definida entre a y b se calcula con la regla de Barrow, F(b) − F(a), y es el área con signo entre la curva y el eje X.
Calcula ∫ 2x · (x² + 1)³ dx.
- Llama u = x² + 1. Su derivada es u′ = 2x, que es justo el otro factor.
- La integral queda ∫ u³ du = u⁴ / 4.
- Deshaz el cambio: (x² + 1)⁴ / 4.
∫ 2x · (x² + 1)³ dx = (x² + 1)⁴ / 4 + C
Preguntas frecuentes
¿Por qué se suma la constante C?
Porque funciones que se diferencian en una constante tienen la misma derivada: x² + 3 y x² − 7 derivan las dos a 2x. La integral indefinida recoge todas a la vez.
¿Qué es la regla de Barrow?
Si F es una primitiva de f y f es continua en [a, b], la integral definida de a a b es F(b) − F(a). Si f no es continua en el intervalo, como 1/x entre −1 y 1, no se puede aplicar.
¿Por qué la integral definida puede ser negativa?
Porque las zonas donde la curva está por debajo del eje X cuentan en negativo. Para calcular un área total hay que partir el intervalo donde la función cambia de signo y sumar los valores absolutos.
¿Qué integrales no son inmediatas?
Las que necesitan otros métodos, como x · eˣ (por partes) o 1/(x² − 1) (fracciones simples). Esta herramienta te avisa cuando la integral no es inmediata.