Matemáticas · Lógica

Lógica proposicional

Escribe las premisas y la conclusión: la tabla de verdad, la forma clausal y la resolución te dicen si el razonamiento es correcto.

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Fórmulas

Premisas · una por líneaConclusión · opcionalSin conclusión, una fórmula se clasifica (válida, satisfacible…) y varias se estudian como conjunto (¿consistente?).

o escribe ~ & | -> <-> · constantes V y F

Razonamiento

{p \land \neg q \to r, \neg r \land p} ⊨ q

Teorema I: es correcto si $(p \land \neg q \to r) \land (\neg r \land p) \to q$ es válida.

Razonamiento correcto. Las premisas son verdaderas a la vez en 1 de las 8 interpretaciones, y en todas ellas la conclusión también lo es.

Proposiciones3

Interpretaciones2³ = 8

Tabla de verdad

subfórmulas

Resaltadas: filas con todas las premisas V. En rojo, las que además tienen la conclusión F (contraejemplos).

p	q	r	P1: $p \land \neg q \to r$	P2: $\neg r \land p$	Q: $q$
V	V	V	V	F	V
V	V	F	V	V	V
V	F	V	V	F	F
V	F	F	F	V	F
F	V	V	V	F	V
F	V	F	V	F	V
F	F	V	V	F	F
F	F	F	V	F	F

Qué es y cómo se usa

La lógica proposicional estudia cuándo un razonamiento es correcto: cuándo, siempre que las premisas son verdaderas, la conclusión también lo es. Las proposiciones (p, q, r…) se combinan con las conectivas ¬, ∧, ∨, → y ↔, y lo que importa es la forma del razonamiento, no su contenido.

Escribe las premisas, una por línea, y la conclusión. La tabla de verdad recorre las 2ⁿ interpretaciones y busca un contraejemplo: una fila con todas las premisas verdaderas y la conclusión falsa. La forma clausal pasa cada fórmula a forma normal conjuntiva en cinco pasos, y la resolución deriva la cláusula vacía □ a partir de las premisas y la negación de la conclusión.

Sin conclusión, una sola fórmula se clasifica (válida, satisfacible o insatisfacible) y varias se estudian como conjunto (consistente o inconsistente). La prioridad de las conectivas es ¬ > ∧ > ∨ > → > ↔.

Ejemplo resuelto

«Si llueve y no hace viento, llevo abierto el paraguas. No llevo abierto el paraguas, pero llueve. Por tanto, hace viento.» ¿Es correcto?

Con p: llueve, q: hace viento y r: llevo el paraguas abierto, el razonamiento es {p ∧ ¬q → r, ¬r ∧ p} ⊨ q.
Forma clausal de las premisas: ¬p ∨ q ∨ r, ¬r y p. Negación de la conclusión: ¬q.
Resolviendo p con ¬p ∨ q ∨ r sale q ∨ r; con ¬r, sale q; y q con ¬q da la cláusula vacía □.
El conjunto es inconsistente: las premisas y la negación de la conclusión no pueden ser verdaderas a la vez.

El razonamiento es correcto

Preguntas frecuentes

¿Por qué una implicación con el antecedente falso es verdadera?

Porque p → q solo afirma que, si p es verdad, q también lo es. Si p es falsa, no se ha incumplido nada. Es el único caso que puede hacerla falsa: p verdadera y q falsa.

¿Qué diferencia hay entre satisfacible y válida?

Una fórmula satisfacible es verdadera en alguna interpretación; una válida (tautología), en todas. Toda válida es satisfacible. Por el principio del espejo, F es válida si y solo si ¬F es insatisfacible.

¿Por qué la resolución niega la conclusión?

Por el Teorema II de consecuencia lógica: las premisas implican Q si y solo si las premisas junto con ¬Q son inconsistentes. Derivar la cláusula vacía demuestra esa inconsistencia.

¿Cómo se traduce «p solo si q»?

Como p → q, no como q → p. Lo necesario va a la derecha y lo suficiente a la izquierda: «q es necesario para p» y «p es suficiente para q» también son p → q.