Superficies z = f(x, y)
Escribe una función de dos variables y gírala en 3D. Elige un punto y mira sus derivadas parciales, el gradiente y el plano tangente.
Tu función
Superficie
x, y ∈ [−3, 3]Curvas de nivel y gradiente
Cada curva une puntos a la misma altura. El gradiente apunta hacia donde la superficie sube más deprisa y siempre corta las curvas de nivel en ángulo recto.
Dominio y punto
Derivadas parciales
Plano tangente: z = 0.75 + 2·(x − 1) − 1·(y − 0.5). El gradiente (2, −1) marca la dirección de máxima subida.
Qué es y cómo se usa
Una función de dos variables z = f(x, y) asocia una altura a cada punto del plano, así que su gráfica es una superficie en el espacio. Escribe cualquier función, gírala en 3D y mira sus curvas de nivel: las líneas que unen los puntos que están a la misma altura, como en un mapa topográfico.
Las derivadas parciales ∂f/∂x y ∂f/∂y miden la pendiente al moverse solo en la dirección x o solo en la y. Juntas forman el gradiente ∇f, un vector que apunta hacia donde la función sube más deprisa y que es perpendicular a las curvas de nivel. Con ellas sale el plano tangente: z = f(x₀, y₀) + f_x·(x − x₀) + f_y·(y − y₀).
Mueve el punto (x₀, y₀) con los deslizadores y mira cómo cambian el plano tangente y el gradiente. Si el gradiente se anula, el punto es crítico y la herramienta lo clasifica con el hessiano: mínimo, máximo o punto de silla.
Ejemplo resuelto
Halla y clasifica los puntos críticos de f(x, y) = x² − y².
- f_x = 2x y f_y = −2y. Las dos se anulan solo en (0, 0).
- Segundas derivadas: f_xx = 2, f_yy = −2 y f_xy = 0.
- Hessiano: D = f_xx·f_yy − f_xy² = −4 < 0.
- Si D < 0 el punto es de silla: sube en la dirección x y baja en la y.
(0, 0) es un punto de silla
Preguntas frecuentes
¿Qué indica el gradiente?
Apunta en la dirección en la que la función crece más deprisa, y su módulo es esa tasa de crecimiento. En la dirección contraria la función baja lo más rápido posible, y en la perpendicular, que es la de la curva de nivel, no cambia.
¿Cómo se clasifica un punto crítico?
Con el determinante del hessiano, D = f_xx·f_yy − f_xy². Si D > 0 y f_xx > 0 es un mínimo; si D > 0 y f_xx < 0, un máximo; si D < 0, un punto de silla; y si D = 0 el criterio no decide.
¿Qué es un punto de silla?
Un punto donde el plano tangente es horizontal pero que no es ni máximo ni mínimo: en una dirección la función sube y en otra baja, como en una silla de montar o en un paso de montaña.
¿Por qué las curvas de nivel juntas indican pendiente fuerte?
Porque entre dos curvas consecutivas siempre hay la misma diferencia de altura. Si están muy juntas, esa subida se hace en poca distancia horizontal: la superficie es empinada.