Braquistócrona
¿Por qué camino se baja antes de un punto a otro más bajo? No por la recta: por una cicloide.
Carrera de A a B
t = 0 sPuntos A y B
La recta es el camino más corto, pero no el más rápido: conviene bajar en picado al principio para ganar velocidad pronto, aunque el recorrido sea más largo. El más rápido es siempre un trozo de cicloide, la curva que dibuja un punto de una rueda que rueda.
Qué es y cómo se usa
La braquistócrona (del griego «tiempo más corto») es la curva por la que una bola que se desliza sin rozamiento, solo por su peso, va de un punto A a otro B más bajo en el menor tiempo posible. Johann Bernoulli planteó el problema en 1696 como un reto a los matemáticos de su época.
La intuición dice que la recta, que es el camino más corto, pero no lo es. Conviene bajar con mucha pendiente al principio para ganar velocidad pronto: aunque el camino sea más largo, se recorre más deprisa. Si se baja demasiado (como en la curva empinada), el recorrido extra ya no compensa. La solución exacta es un arco de cicloide, la curva que traza un punto del borde de una rueda que rueda.
Cambia la posición de B y mira la carrera. El tiempo de cada curva se calcula con la conservación de la energía: en cada punto v = √(2·g·h), donde h es lo que ha bajado desde A, y el tiempo es la suma de los tramos divididos por su velocidad.
Ejemplo resuelto
¿Cuánto tarda una bola en bajar sin rozamiento por una rampa recta de A a un punto B que está 3 m más lejos y 2 m más abajo?
- Longitud de la rampa: L = √(3² + 2²) ≈ 3,606 m. Su seno: sen α = 2/3,606 ≈ 0,555.
- Aceleración a lo largo de la rampa: a = g·sen α = 9,81 · 0,555 ≈ 5,44 m/s².
- Sale del reposo: L = ½·a·t², así que t = √(2L/a) = √(2 · 3,606 / 5,44) ≈ 1,151 s.
- Por la cicloide entre los mismos puntos tarda unos 0,98 s, casi un 15 % menos.
Por la recta, unos 1,15 s
Preguntas frecuentes
¿Qué es una cicloide?
La curva que dibuja un punto del borde de una rueda cuando rueda sin deslizar por una superficie plana. Puesta del revés, con forma de cuenco, es la braquistócrona. Además es tautócrona: una bola soltada desde cualquier punto de ella tarda lo mismo en llegar al fondo.
¿Por qué no gana la recta si es el camino más corto?
Porque lo que cuenta es el tiempo, no la distancia. En la recta la bola acelera poco a poco durante todo el camino. En la cicloide cae casi en vertical al principio, gana mucha velocidad enseguida y recorre el resto deprisa.
¿Importa la masa de la bola?
No. Sin rozamiento, la velocidad en cada punto solo depende de lo que ha bajado, v = √(2·g·h), igual para cualquier masa. Las cuatro cuentas pesarían lo mismo o distinto y la carrera sería igual.
¿Cómo se demuestra que la cicloide es la mejor?
Con el cálculo de variaciones, que busca la función que hace mínima una integral, aquí el tiempo ∫ ds/v. Bernoulli lo resolvió con una analogía con la refracción de la luz (el principio de Fermat): la luz también sigue el camino de tiempo mínimo.
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