Péndulo doble
Un sistema sencillo y totalmente determinista que es imposible de predecir: el ejemplo clásico de caos.
Péndulo doble
t = 0 sDistancia entre los dos péndulos
En escala logarítmica: la separación crece más o menos como una recta, es decir, de forma exponencial. Eso es el caos.
Condiciones iniciales
Con ángulos pequeños el péndulo doble oscila de forma ordenada. Con ángulos grandes es caótico: es completamente determinista, pero una diferencia mínima al principio (aquí 0.001°) crece exponencialmente y a los pocos segundos los dos péndulos no se parecen en nada. Por eso es imposible predecir su movimiento a largo plazo.
Qué es y cómo se usa
Un péndulo doble es un péndulo colgado del extremo de otro. Sus ecuaciones de movimiento se conocen exactamente (salen de la mecánica de Newton o de Lagrange) y no hay nada aleatorio en ellas, pero no tienen solución en fórmulas: hay que resolverlas numéricamente, paso a paso.
Con ángulos pequeños el movimiento es ordenado, una mezcla de dos oscilaciones. Con ángulos grandes se vuelve caótico: la masa de abajo da vueltas, se para y cambia de sentido de forma irregular. Además tiene sensibilidad a las condiciones iniciales: dos péndulos que empiezan con una diferencia de una milésima de grado acaban haciendo cosas completamente distintas al cabo de unos segundos.
Activa el gemelo y mira en la gráfica cómo crece su separación. La energía total se conserva (el error que se muestra es el del cálculo numérico), así que el caos no viene de rozamientos ni de errores, sino de la propia física del sistema.
Ejemplo resuelto
Dos péndulos dobles se sueltan con una diferencia de 0,001° en el ángulo de arriba. Si su separación se multiplica por 10 cada segundo, ¿cuándo será del orden de un metro si empieza siendo de unos 20 µm?
- Hay que pasar de 2·10⁻⁵ m a 1 m: multiplicar por 5·10⁴.
- Cada segundo se multiplica por 10, así que hacen falta log₁₀(5·10⁴) ≈ 4,7 segundos.
- Pasado ese tiempo los dos péndulos ya no se parecen: la predicción no sirve.
- Es el crecimiento exponencial típico del caos: mejorar 1000 veces la medida inicial solo alarga la predicción unos 3 segundos.
En unos 5 segundos la diferencia es tan grande como el propio péndulo
Preguntas frecuentes
¿Qué es el caos determinista?
Un comportamiento que parece aleatorio pero que sale de leyes exactas, sin azar. El futuro queda fijado por el presente, pero cualquier imprecisión, por pequeña que sea, crece tan deprisa que en la práctica no se puede predecir. El tiempo meteorológico es otro ejemplo.
¿Por qué un péndulo simple no es caótico y uno doble sí?
Un péndulo simple tiene un solo grado de libertad y su movimiento queda atrapado en una curva cerrada. El doble tiene dos ángulos que intercambian energía entre sí de forma no lineal, y eso permite trayectorias que nunca se repiten.
¿Siempre es caótico?
No. Con ángulos pequeños se comporta casi como dos osciladores acoplados y su movimiento es regular y predecible. El caos aparece cuando la energía es suficiente para que las masas den vueltas o se acerquen a la vertical hacia arriba.
¿Cómo se calcula el movimiento?
Resolviendo las ecuaciones diferenciales con el método de Runge-Kutta de orden 4 en pasos de una milésima de segundo. Se comprueba que la energía total se mantiene: si el error fuera grande, el cálculo no sería fiable.
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