Caminata aleatoria

En una caminata aleatoria cada paso tiene el mismo tamaño pero una dirección al azar: a la izquierda o a la derecha en una línea, o en cualquiera de las cuatro direcciones en una cuadrícula. Es el modelo más sencillo del movimiento de una partícula de polen golpeada por las moléculas del agua (el movimiento browniano) o de una molécula de perfume en el aire.

Como los pasos se compensan, la posición media de muchos caminantes se queda en el punto de salida. Pero se van dispersando: el desplazamiento cuadrático medio crece en proporción al número de pasos, ⟨r²⟩ = N·ℓ², así que la distancia típica crece como √N. Y la distribución de posiciones se va pareciendo a una campana de Gauss, por el teorema central del límite.

Suelta los caminantes en una línea o en un plano y mira cómo se extiende la nube, cómo la gráfica de ⟨r²⟩ sigue una recta y cómo el histograma toma forma de campana.

Una partícula da pasos al azar de 1 µm. ¿A qué distancia típica estará del punto de partida después de 10 000 pasos? ¿Y después de 40 000?

1. Distancia típica: √⟨r²⟩ = ℓ·√N.
2. Con N = 10 000: 1 µm · √10 000 = 100 µm.
3. Con N = 40 000: 1 µm · √40 000 = 200 µm.
4. Con cuatro veces más pasos solo se aleja el doble: la difusión es lenta a largas distancias.

Unos 100 µm, y 200 µm con cuatro veces más pasos (no 400 µm)