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Física · Física estadística

Distribución de Boltzmann

Por qué a cada temperatura hay muchas partículas con poca energía y pocas con mucha: el factor e^(−E/kT).

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Población de cada nivel

kT = 25.9 meV
n = 062 %n = 123.6 %n = 29 %n = 33.4 %n = 41.3 %n = 50.492 %n = 60.187 %n = 70.071 %n = 80.027 %n = 90.01 %

Sistema

kT25.9 meV
Z · función de partición1.613
Energía media15.3 meV
N₁ / N₀0.3802

En equilibrio a temperatura T, la fracción de partículas en un nivel de energía E es proporcional a g·e^(−E/kT), donde g es el número de estados con esa energía. Si kT es mucho menor que la separación entre niveles, casi todas están en el fundamental; si es mucho mayor, se reparten. A 300 K, kT ≈ 25,9 meV.

Qué es y cómo se usa

Cuando muchas partículas están en equilibrio a una temperatura T, no todas tienen la misma energía. La fracción que ocupa un nivel de energía E es proporcional a g·e^(−E/kT), donde k es la constante de Boltzmann y g el número de estados con esa energía. Es la distribución de Boltzmann, una de las ideas centrales de la física estadística.

La clave es comparar la separación entre niveles con kT, la energía térmica típica (unos 25,9 meV a temperatura ambiente). Si los niveles están mucho más separados que kT, casi todo queda en el fundamental; si están mucho más juntos, las partículas se reparten por muchos niveles. La suma de todos los factores, Z, es la función de partición, y de ella salen la energía media y otras magnitudes.

En el modo de intercambio, 400 osciladores se pasan cuantos de energía al azar. Aunque empiezan todos igual, acaban con muchos pobres y pocos ricos: la distribución exponencial de Boltzmann aparece sola, simplemente porque es la forma de repartir la energía que se puede conseguir de más maneras.

Ejemplo resuelto

Un sistema tiene dos niveles separados 50 meV. ¿Qué fracción de partículas está en el nivel excitado a 300 K? ¿Y a 1000 K? (k = 8,617·10⁻⁵ eV/K)

  1. A 300 K: kT = 8,617·10⁻⁵ · 300 ≈ 25,9 meV, y e^(−50/25,9) ≈ 0,145.
  2. Fracción excitada: 0,145 / (1 + 0,145) ≈ 0,127, un 12,7 %.
  3. A 1000 K: kT ≈ 86,2 meV y e^(−50/86,2) ≈ 0,560.
  4. Fracción excitada: 0,560 / 1,560 ≈ 0,359, un 35,9 %. Nunca pasa del 50 %, por muy alta que sea la temperatura.

Un 12,7 % a 300 K y un 35,9 % a 1000 K

Preguntas frecuentes

¿Qué significa kT?

Es la energía térmica característica a la temperatura T: k = 1,38·10⁻²³ J/K = 8,617·10⁻⁵ eV/K. A temperatura ambiente vale unos 25 meV. Compararla con las energías de un sistema dice si la temperatura basta para excitarlo.

¿Por qué hay más partículas abajo que arriba?

Porque hay muchas más formas de repartir una energía total fija si la mayoría de partículas tiene poca y unas pocas tienen mucha. El estado de equilibrio es el que se puede conseguir de más maneras, y ese reparto es exponencial.

¿Qué es la degeneración g?

El número de estados distintos con la misma energía. En la rotación de una molécula el nivel J tiene 2J + 1 orientaciones: por eso, aunque la energía crece con J, los primeros niveles excitados pueden estar más poblados que el fundamental.

¿Dónde se usa?

En casi toda la química y la física: velocidad de las reacciones (la ecuación de Arrhenius), espectros de moléculas y estrellas, la presión de la atmósfera con la altura, la conducción en semiconductores o el láser, que necesita invertir esta distribución.

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