Péndulos acoplados
Dos péndulos unidos por un muelle se pasan la energía de uno a otro: modos normales y pulsaciones.
Dos péndulos unidos por un muelle
t = 0 sÁngulos en el tiempo
El péndulo 1 arriba y el 2 abajo, desplazados para que no se monten. Con «Solo el primero» se ven las pulsaciones: la oscilación pasa de uno a otro.
Montaje
Al soltar solo el primero se mezclan los dos modos normales, de frecuencias parecidas: la energía va pasando de un péndulo a otro y vuelve cada 25.6 s. Con un muelle más flojo el intercambio es más lento.
Qué es y cómo se usa
Dos péndulos iguales unidos por un muelle débil son el ejemplo más sencillo de osciladores acoplados. Tienen dos maneras especiales de oscilar, los modos normales: moviéndose juntos (en fase), sin estirar el muelle, con ω₁ = √(g/L); o en sentidos opuestos (en oposición), estirando y comprimiendo el muelle, con ω₂ = √(g/L + 2k/m), algo más rápida.
Cualquier otro movimiento es una suma de los dos modos. Si separas solo uno de los péndulos y lo sueltas, los dos modos se mezclan y como sus frecuencias son parecidas aparecen pulsaciones: el primero va perdiendo amplitud mientras el segundo empieza a oscilar, hasta que toda la energía ha pasado al segundo, y luego vuelve. El periodo de ese intercambio es 2π/(ω₂ − ω₁).
Prueba las tres formas de empezar y cambia la longitud y la constante del muelle: con un muelle más flojo las frecuencias de los modos se acercan y el intercambio es más lento.
Ejemplo resuelto
Dos péndulos de 1 m y 0,5 kg están unidos por un muelle de k = 0,4 N/m. Calcula las frecuencias angulares de los dos modos y el periodo de las pulsaciones.
- Modo en fase: ω₁ = √(g/L) = √9,81 ≈ 3,132 rad/s.
- Modo en oposición: ω₂ = √(g/L + 2k/m) = √(9,81 + 1,6) ≈ 3,378 rad/s.
- Periodo de las pulsaciones: T = 2π/(ω₂ − ω₁) = 2π/0,246 ≈ 25,5 s.
- La energía pasa entera de un péndulo al otro en la mitad, unos 12,8 s.
ω₁ ≈ 3,13 rad/s, ω₂ ≈ 3,38 rad/s y pulsaciones cada 25,5 s
Preguntas frecuentes
¿Qué es un modo normal?
Una forma de oscilar en la que todas las partes del sistema se mueven con la misma frecuencia y mantienen su relación de fase. Si el sistema empieza en un modo normal, se queda en él para siempre. Dos péndulos acoplados tienen dos modos; un sistema con N partes, N modos.
¿Por qué la energía pasa de un péndulo a otro?
Porque el movimiento es la suma de dos modos con frecuencias un poco distintas. Al principio están en fase y se suman en el primer péndulo y se cancelan en el segundo; con el tiempo uno adelanta al otro y la situación se invierte. Es lo mismo que las pulsaciones entre dos notas de frecuencias parecidas.
¿Dónde aparecen osciladores acoplados?
En las moléculas (los átomos vibran en modos normales que se ven en espectroscopia), en los edificios, en circuitos eléctricos acoplados, en las cuerdas de un piano que suenan a la vez o en los cristales, donde los modos normales son los fonones.
¿Vale para ángulos grandes?
Las fórmulas suponen ángulos pequeños (sen θ ≈ θ), hasta unos 15°. Con ángulos mayores las frecuencias cambian un poco con la amplitud y el intercambio de energía ya no es perfecto.
Herramientas relacionadas
- Amortiguador de masa en un rascacielosUn rascacielos que el viento hace oscilar y un amortiguador de masa sintonizado en lo alto: resonancia, sintonía óptima y cuánto reduce el balanceo.
- Péndulo doble y caosUn péndulo colgado de otro: movimiento ordenado con ángulos pequeños y caótico con grandes, y un gemelo casi idéntico que se separa exponencialmente.
- Braquistócrona: la curva más rápidaCuatro cuentas bajan de A a B por una recta, un arco, una curva empinada y una cicloide: cuál llega antes y por qué no gana la recta.
- Orbitales del átomo de hidrógenoOrbitales s, p, d y f hasta n = 4: densidad de probabilidad, signo de la función de onda, nodos y distribución radial.
- Caminata aleatoria y difusiónCientos de caminantes que dan pasos al azar en una línea o un plano: cómo se dispersan, por qué la distancia crece como √N y la campana de Gauss.
- Doble rendija: interferencia cuánticaFotones o electrones de uno en uno a través de dos rendijas: aparecen franjas de interferencia, y desaparecen si miras por cuál pasan.